Istoria
fractalilor nu este lungă. A început brusc, în 1975, cu lucrarea revoluţionară
a matematicianului Benoit Mandelbrot, "O teorie a seriilor fractale",
care mai târziu a devenit cartea sa manifest "Geometria fractală a
naturii". Mandelbrot a inventat cuvântul "fractal" pentru a
reuni munca multora dinaintea sa.
Primii fractali
Matematicieni ca Waclaw Sierpinski, David Hilbert, George Cantor şi Helge von Koch au creat primii fractali, în general ca exerciţii abstracte, neavînd nici o idee despre semnificaţia lor. Mulţi dintre ei considerau aceste forme patologice, dizgraţioase sau chiar dezgustătoare. Ce şocaţi ar fi acum să afle că sunt mai cunoscuţi tocmai prin acele forme care i-au îngrozit mai mult. Câţiva dintre aceşti pionieri aveau motive întemeiate pentru dezgustul lor, pentru aceste "aberaţii" geometrice. Ei au simţit că descoperiseră ceva ce sfida şi ameninţa câteva din convingerile cele mai preţioase. O evaluare ulterioară ne arată că perioada lor (aproximativ 1875-1925) era de fapt o perioadă de criză în matematică. Iar şi iar, matematicienii dădeau peste forme bizare care intrau în contradicţie cu viziunea lor despre spaţiu, suprafaţă, distanţă şi dimensiune.
Definiţia
fractalilor
În 1982, Mandelbrot şi-a extins două eseuri anterioare, creînd lucrarea deschizătoare de drumuri "Geometria fractală a naturii". El a inventat cuvântul "fractal" (din latinescul "frangere" care înseamnă "a sparge în fragmente neregulate"), astfel încât inversele forme au putut fi unificate sub un singur nume. Pentru a fi clasificată oficial ca fractal, o formă trebuie să aibă dimensiunea Hausdorff-Besicovitch mai mare decât dimensiunea sa topologică tradiţională. Pe scurt, fractalii sunt toate acele ciudăţenii care umplu spaţiul şi pe care matematicienii le abandonaseră ca fiind dezarmant de complexe. Mandelbrot nota patetic: "deoarece cuvântul algebra derivă din cuvântul arab jabara (a lega împreună), între cuvintele fractal şi algebră este o contradicţie etimologică".
Geometria
fractală
Benoit Mandelbrot şi-a întemeiat geometria fractală bazându-se în principal pe simularea sa încununată de succes a tendinţei preţurilor bunurilor de consum, iar analiza pieţii rămâne una din cele mai atrăgătoare aplicaţii ale geometriei fractale. Piatra Filosofică a oricărui analist al pieţii este, desigur, să precizeze comportarea preţurilor cu destulă exactitate pentru a se umple de bani cât mai repede. Dacă cineva a pus mâna pe aceasta Piatră, probabil că îşi foloseşte câteva din miliardele sale pentru a-şi apăra secretul. În domeniul pieţii, ca şi în alte domenii în care fractalii şi haosul dau rezultatele, rareori se dovedesc atât de folositori pentru prezicere, pe cât sunt pentru simulare.
Simularea
fractală
Simularea fractală poate modela şi prezice natura
general statistică a unui sistem, fără să-i prevadă comportarea specifică
într-un anumit moment. De exemplu, simulările din 1953 ale lui Mandelbrot
asupra preţului bumbacului continuau sa prezică cu exactitate cantitatea de
variaţie din preţul bumbacului, atât lunară cât şi anuală. Totuşi, ele nici
măcar nu pot pretinde cât ne indică preţul bumbacului în 2002.
Caracteristicile unui
fractal
- Fractalul, ca obiect geometric, are în general următoarele caracteristici:
- Are o structură fină la scări arbitrar de mici.
- Este prea neregulat pentru a fi descris în limbaj geometric euclidian tradiţional.
- Este autosimilar (măcar aproximativ sau stochastic).
- Are dimensiunea Hausdorff mai mare decât dimensiunea topologică (deşi această cerinţă nu este îndeplinită de curbele Hilbert).
- Are o definiţie simplă şi recursivă.
Deoarece par identici la orice nivel de magnificare, fractalii sunt de obicei consideraţi ca fiind infinit complecşi (în termeni informali). Printre obiectele naturale care aproximează fractalii până la un anumit nivel se numără norii, lanţurile montane, arcele de fulger, liniile de coastă şi fulgii de zăpadă. Totuşi, nu toate obiectele autosimilare sunt fractali—de exemplu, linia reală (o linie dreaptă Euclidiană) este autosimilară, dar nu îndeplineşte celelalte caracteristici.
Fractalii se afla peste tot in jurul nostru, luand forma unui lant muntos sau se regasesc in unduirea liniei de tarm. Ca si formatiunile noroase si focurile licarind, unii fractali sufera schimbari continue, in timp ce altii, cum ar fi copacii sau sistemul vascular omenesc retin structura pe care au capatat-o in evolutia lor. Conceptul matematic de fractal caracterizeaza obiecte cu o diversa gama de structura si care astfel reflecta principiul ierarhic de organizare.. Obiectele fractale nu isi schimba forma in mod semnificativ cand sunt observate la microscop. Mandelbrot a gasit in 1980 un principiu ce organizeaza un intreg univers de structuri asemanatoare cu intregul intr-o maniera neasteptata.
Tipuri de fractali
Dupa aparitia termenului
de fractal s-a produs o adevarata frenezie in explorarea diverselor fenomene
din perspectiva fractalilor, dar si gasirea celor mai spectaculosi si aratosi
fractali. Iterated Function System (IFS)
Sunt generati pornind de la o forma asupra careia aplicam in mod repetat acelasi procedeu.
De exemplu:
1.Luati un triunghi echilateral plin.
2.Uniti mijlocul laturilor triungiului. Astfel veti imparti triunghiul mare in 4 triunghiuri mici. Eliminati mijlocul (zona va ramane alba)
3.Continuati la infinit acelasi procedeu pentru restul de 3 triunghiuri mici ramase si pentru noile triunghiuri generate Sunt numeroase forme, unele foarte spectaculoase, rezultatul depinzand de imaginatia noastra. Evident, sunt programe specializate, carora le specificam forma initiala (triunghi, cerc, linie, etc) si metoda (elimina treimea medie si procedeaza la fel cu ce a ramas, etc) iar soft-ul ne arata rezultatul.
O feriga care nu este chiar feriga. Privind o frunza de feriga reala observam cum ramificatiile principale seamana foartefoarte mult cu cele secundare si tertiare. Fractalul de mai sus surprinde acest aspect.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu